Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

Recupero di An. Mat. II (secondi 5 crediti) per Ingegneria Elettronica del 5–9–07 A.A.2006/2007

Gli studenti scrivano le risposte negli spazi sottostanti le domande. Lo svolgimento completo venga allegato sulla “bella” da consegnare a parte

• Chi recupera tutto il programma di analisi II (secondi 5 crediti) svolga gli esercizi 1) e 3). I punteggi sono quelli scritti nel formato “macchina da scrivere”. Si hanno 150 minuti di tempo

• Chi recupera solo la SECONDA PARTE di analisi II (secondi 5 crediti) svolga gli esercizi 1) e 2). I punteggi sono nel formato grassetto. Qui rientrano coloro che devono sostenere complementi. Si hanno 100 minuti di tempo.

• Chi recupera \underline{analisi II (10 CREDITI)} svolga gli esercizi: prima, seconda e quarta domanda dell’esercizio 1) di questo compito prime otto domande dell’esercizio 3) di questo compito esercizi 1) e 3) del compito sui primi 5 crediti. Si hanno 210 minuti di tempo. I voti sono scritti in italico

Problema n.1 Sia α reale. Sia δ(t) la “Delta di Dirac”. Si consideri la seguente equazione integro– differenziale

\{ \begin{matrix}y′′ + α ∫_{0}^{t} δ(τ) · y(t − τ)dτ = ∫_{0}^{t} sin τ cos(t − τ)dτ \\ y(0) = 1  y′(0) = 0 \end{matrix}

prima domanda: (5.5) – (3.5) – (3) Si scriva la soluzione dell’equazione per α > 0, α ≠ 1

Risposta Passando alla trasformata di Laplace si ha p^{2}v − p + αv = \frac{p}{(p^{2} + 1)^{2}} ossia v(p) = \frac{p}{p^{2} + α} +

\frac{p}{(p^{2} + 1)^{2}(p^{2} + α)} da cui y(t) = lim_{p→i\sqrt{α}} \frac{pe^{pt}}{(p + i\sqrt{α})^{2}} + lim_{p→−i\sqrt{α}} \frac{pe^{pt}}{(p − i\sqrt{α})^{2}} + lim_{p→i\sqrt{α}} \frac{pe^{pt}}{(p + i\sqrt{α})(p^{2} + 1)^{2}} +

lim_{p→−i\sqrt{α}} \frac{pe^{pt}}{(p − i\sqrt{α})(p^{2} + 1)^{2}} + lim_{p→i\sqrt{α}} \frac{pe^{pt}}{(p + i\sqrt{α})^{2}} + lim_{p→i} \frac{d}{dp} \frac{pe^{pt}}{(p + i)^{2}(p^{2} + α)} + lim_{p→−i} \frac{d}{dp} \frac{pe^{pt}}{(p − i)^{2}(p^{2} + α)}.

• lim_{p→i\sqrt{α}} \frac{pe^{pt}}{(p + i\sqrt{α})^{2}} + lim_{p→−i\sqrt{α}} \frac{pe^{pt}}{(p − i\sqrt{α})^{2}} + lim_{p→i\sqrt{α}} \frac{pe^{pt}}{(p + i\sqrt{α})(p^{2} + 1)^{2}} + lim_{p→−i\sqrt{α}} \frac{pe^{pt}}{(p − i\sqrt{α})(p^{2} + 1)^{2}} =

= cos(\sqrt{α}t) + \frac{cos(\sqrt{α}t)}{(1 − α)^{2}}

lim_{p→i} \frac{d}{dp} \frac{pe^{pt}}{(p + i)^{2}(p^{2} + α)} + lim_{p→−i} \frac{d}{dp} \frac{pe^{pt}}{(p − i)^{2}(p^{2} + α)} = −\frac{t sin t}{2(α − 1)} − \frac{cos t}{(α − 1)^{2}} e quindi

• y(t) = cos(\sqrt{α}t) + \frac{cos(\sqrt{α}t)}{(1 − α)^{2}} − \frac{t sin t}{2(α − 1)} − \frac{cos t}{(α − 1)^{2}}

seconda domanda: (5.5) – (3.5) – (3) Si scriva la soluzione dell’equazione per α = 1

Risposta In questo caso si ha v = \frac{p}{p^{2} + 1} + \frac{p}{(p^{2} + 1)^{3}} da cui y(t) = cos t + \frac{t}{2} sin t

terza domanda: (5.5) – (3.5) Si scriva la soluzione dell’equazione per α = 0

Risposta Si ha v(p) = \frac{1}{p} + \frac{1}{p(p^{2} + 1)^{2}} da cui y(t) = 2 − cos t − \frac{1}{2}t sin t

quarta domanda: (5.5) – (3.5) – (2) Si scriva la soluzione dell’equazione per α < 0

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

Risposta Sia α < 0 e quindi α = −|α| da cui v(p) = \frac{p}{p^{2} − |α|} + \frac{p}{(p^{2} + 1)^{2}(p^{2} − |α|)} e quindi y(t) =

cosh(t\sqrt{|α|}) + \frac{cosh(t\sqrt{|α|})}{(1 + |α|)^{2}} − \frac{cos t}{(1 + |α|)^{2}} − \frac{1}{2} \frac{t sin t}{1 + |α|}

quinta domanda: (2) – (1) Si dica per quali valori di α la soluzione della equazione è limitata Risposta Per nessun valore di α

Problema n.2 Sia ω reale. Si risolva il seguente problema di Cauchy \{ \begin{matrix}y^{(iv)}(t) − y(t) = sin(ωt), \\ y(0) = y′(0) = y′′(0) = y′′′(0) = 0 \end{matrix}

1) (3) Si scriva la soluzione per ω > 0, ω ≠ 1.

Risposta v(p) = \frac{ω}{(p^{2} + ω^{2})} \frac{1}{(p^{2} + 1)(p^{2} − 1)} da cui y(t) = \frac{ω}{2(1 + ω^{2})} sinh(t)+\frac{1}{ω^{4} − 1} sinh(ωt)−\frac{1}{2} \frac{ω}{ω^{2} − 1} sin t

2) (3) Si scriva la soluzione per ω = 1. Risposta v(p) = \frac{ω}{(p^{2} + 1)^{2}} \frac{1}{p^{2} − 1} da cui y(t) = \frac{1}{4}t cos t − \frac{1}{2} sin t + \frac{1}{4} sinh t

Problema n.3 Sia data la funzione complessa f(z) che ristratta ad un opportuno sottoinsieme D del piano

complesso è data da zf(z) = ∑_{k=−1}^{+∞}(\frac{z}{2})^{k} + ∑_{k=−1}^{+∞}(\frac{z}{i})^{−k}.

1) (1) – (1) Si trovi l’insieme D. Risposta La funzione è f(z) = \frac{1}{z}(\frac{2}{2 − z} + \frac{2}{z} + \frac{z}{i} + \frac{z}{z − i}) e coincide con l’espansione in serie data per 1 < |z| < 2

2) (1) – (1) Si trovi l’insieme in cui f(z) è olomorfa. Risposta Tutto il piano complesso tranne i tre punti z = 0, i, 2

3) (1) – (1) Si trovi lo sviluppo di Laurent della funzione f(z) centrato in z = 0 e convergente per 0 < |z| < 1

Risposta Scrivendo la funzione come f(z) = \frac{1}{z} + \frac{1}{2} \frac{1}{1 − \frac{z}{2}} + \frac{2}{z^{2}} + \frac{1}{i} − \frac{1}{i} \frac{1}{1 − \frac{z}{i}} = \frac{1}{z} + \frac{1}{2} ∑_{k=0}^{+∞}(\frac{z}{2})^{k} + \frac{2}{z^{2}} + \frac{1}{i} −

\frac{1}{i} ∑_{k=0}^{+∞}(\frac{z}{i})^{k}

3.1) (1) – (1) Si trovi lo sviluppo di Laurent della funzione f(z) centrato in z = 0 e convergente per 1 < |z| < 2 23/settembre/2018; esclusivamente per uso personale, è vietata ogni forma di commercializzazione 2

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

Risposta Scrivendo la funzione come f(z) = \frac{1}{z} + \frac{1}{2} \frac{1}{1 − \frac{z}{2}} + \frac{2}{z^{2}} + \frac{1}{i} + \frac{1}{1 − \frac{i}{z}} = \frac{1}{z} + \frac{1}{2} ∑_{k=0}^{+∞}(\frac{z}{2})^{k} + \frac{2}{z^{2}} + \frac{1}{i} +

∑_{k=0}^{+∞} \frac{i^{k}}{z^{k+1}}

3.2) (1) – (1) Si trovi lo sviluppo di Laurent della funzione f(z) centrato in z = 0 e convergente per |z| > 2

Risposta f(z) = \frac{1}{z} − \frac{2}{z} \frac{1}{1 − \frac{2}{z}} + \frac{2}{z^{2}} + \frac{1}{i} + \frac{1}{1 − \frac{i}{z}} = \frac{1}{z} − ∑_{k=0}^{+∞} \frac{2^{k}}{z^{k+1}} + \frac{2}{z^{2}} + \frac{1}{i} + ∑_{k=0}^{+∞} \frac{i^{k}}{z^{k+1}}

3.3) (1) – (1) Si trovi lo sviluppo di Laurent della funzione f(z) centrato nella singolarità , detta qui z_{0}, più vicina all’origine e convergente per |z − z_{0}| < 1. Risposta La singolarità più vicina è z = i. La funzione è \frac{1}{z} + \frac{1}{2 − z} + \frac{2}{z^{2}} + \frac{1}{i} + \frac{1}{z − i}

\frac{1}{z} = \frac{1}{i + z − i} = \frac{1}{i} ∑_{k=0}^{+∞} \frac{(i − z)^{k}}{i^{k}} e converge per |z − i| < 1

\frac{1}{2 − z} = \frac{1}{2 − i − (z − i)} = \frac{1}{2 − i} \frac{1}{1 − \frac{z−i}{2−i}} = \frac{1}{2 + i} ∑_{k=0}^{+∞} \frac{(z − i)^{k}}{(2 − i)^{k}} e converge per |z − i| < \sqrt{5}

\frac{1}{z^{2}} = −\frac{d}{dz} \frac{1}{z} = −\frac{1}{i} ∑_{k=1}^{+∞} \frac{k(z − i)^{k−1}}{i^{k}}

Mettendo tutto assieme si ha f(z) = \frac{1}{i} ∑_{k=0}^{+∞} \frac{(z − i)^{k}}{i^{k}} + \frac{1}{2 + i} ∑_{k=0}^{+∞} \frac{(z − i)^{k}}{(2 + i)^{k}} − \frac{2}{i} ∑_{k=1}^{+∞} \frac{k(z − i)^{k−1}}{i^{k}} + \frac{1}{i} + \frac{1}{z − i}

3.4) (1) – (1) Si trovi lo sviluppo di Laurent della funzione f(z) centrato nella singolarità , detta qui z_{0}, più vicina all’origine e convergente per 1 < |z − z_{0}| < \sqrt{5}

\frac{1}{z} = \frac{1}{i + z − i} = \frac{1}{z − i} \frac{1}{1 + \frac{i}{z−i}} = ∑_{k=0}^{+∞} \frac{(−i)^{k}}{(z − i)^{k+1}} e converge per |z − i| > 1

\frac{1}{2 − z} come la precedente

\frac{1}{z^{2}} = −\frac{d}{dz} \frac{1}{z} = ∑_{k=0}^{+∞} \frac{(k + 1)(−i)^{k}}{(z − i)^{k+2}}

Mettendo tutto assieme si ottiene f(z) = ∑_{k=0}^{+∞} \frac{(−i)^{k}}{(z − i)^{k+1}} + \frac{1}{2 + i} ∑_{k=0}^{+∞} \frac{(z − i)^{k}}{(2 + i)^{k}} + ∑_{k=0}^{+∞} \frac{(k + 1)(−i)^{k}}{(z − i)^{k+2}} + \frac{1}{i} + \frac{1}{z − i}

(3.5) (1) – (1) Si trovi lo sviluppo di Laurent della funzione f(z) centrato nella singolarità , detta qui z_{0}, più vicina all’origine e convergente per |z − z_{0}| > \sqrt{5} \frac{1}{z} come la precedente

\frac{1}{2 − z} = \frac{1}{i − z} \frac{1}{1 + \frac{2−i}{i−z}} = ∑_{k=0}^{+∞} \frac{(i − 2)^{k}}{(i − z)^{k+1}} e converge per |z − i| > \sqrt{5}

\frac{1}{z^{2}} come la precedente 23/settembre/2018; esclusivamente per uso personale, è vietata ogni forma di commercializzazione 3

Mettendo tutto assieme si ottiene ∑_{k=0}^{+∞} \frac{(−i)^{k}}{(z − i)^{k+1}} + ∑_{k=0}^{+∞} \frac{(i − 2)^{k}}{(i − z)^{k+1}} + ∑_{k=0}^{+∞} \frac{(k + 1)(−i)^{k}}{(z − i)^{k+2}} + \frac{1}{i} + \frac{1}{z − i}

4) (1) Si calcoli l’integrale ∮_{γ} f(z)dz dove γ è la circonferenza di centro z = \frac{1}{2} e raggio 1 (percorsa in senso positivo) Risposta L’unica singolarità presente è z = 0 che è un polo di ordine 2 per cui l’integrale è 2πiResf(0) = 2πi

4.1) (1) Si calcoli l’integrale ∮_{γ} f(z)dz dove γ è la circonferenza di centro z = \frac{3}{2} e raggio 1 (percorsa in senso positivo) Risposta L’unica singolarità presente è z = 2 che è un polo di ordine 1 per cui l’integrale è 2πiResf(2) = 2πi(−1) = −2πi

4.2) (1) Si calcoli l’integrale ∮_{γ} f(z)dz dove γ è la circonferenza di centro z = \frac{1}{2} + \frac{7}{8}i e raggio 1 (percorsa in senso positivo) Risposta L’unica singolarità presente è z = i che è un polo di ordine 1 per cui l’integrale è 2πiResf(i) = 2πi

4.3) (1) Si calcoli l’integrale ∮_{γ} f(z)dz dove γ è l’ellisse di centro z = 1 ed avente: il \underline{semiasse} orizzontale pari a \frac{3}{2} e quello verticale pari a \frac{1}{2} (percorsa in senso positivo) Risposta All’interno dell’ellisse vi sono le singolarità z = 0 e z = 2 da cui 2πi(Resf(0) + Resf(2)) = 2πi(1 − 1) = 0

4.4) (1) Si calcoli l’integrale ∮_{γ} f(z)dz dove γ è l’ellisse di centro z = \frac{i}{2} ed avente: il \underline{semiasse} orizzontale pari a \frac{1}{2} e quello verticale pari a 1 (percorsa in senso positivo) Risposta All’interno dell’ellisse vi sono le singolarità z = 0 e z = i da cui 2πi(Resf(0) + Resf(i)) = 2πi(1 + 1) = 4πi

4.5) (1) Si calcoli il residuo del punto all’infinito

Risposta Lo sviluppo di Laurent nell’intorno del punto all’infinito è \frac{1}{z} − ∑_{k=0}^{+∞} \frac{2^{k}}{z^{k+1}} + \frac{2}{z^{2}} + \frac{1}{i} + ∑_{k=0}^{+∞} \frac{i^{k}}{z^{k+1}} da

cui Resf(∞) = −1 (si prenda il coefficiente cambiato di segno della potenza \frac{1}{z}). Si può notare inoltre che Resf(∞) = −(Resf(0) + Resf(2) + Resf(i)) = −1 23/settembre/2018; esclusivamente per uso personale, è vietata ogni forma di commercializzazione 4

Paolo Perfetti, Dipartimento di matematica, II Università degli Studi di Roma, facoltà di Ingegneria

5) (1) Si calcoli l’integrale ∮_{γ} f(z)dz dove γ è la circonferenza di centro z = 1 e raggio 3. Risposta All’interno dell’ellisse vi sono tutte le singolarità da cui 2πi(Resf(0) + Resf(2) + Resf(i)) = 2πi(1 − 1 + 1) = 2πi

Negli sviluppi in serie di Laurent si cerchi il più possibile di scriverli nella forma ∑ a_{k}(z − z_{0})^{k}